|
Drie vormen van redeneren:
1. deductie:
De conclusie volgt dwingend uit de premissen. Als de
premissen waar zijn is de conclusie ook waar. De waarheid wordt van de
premissen overgedragen op de conclusie.
Voorbeeld:
Alle A’s zijn B’s
x is een A
x is een B
dus:
Alle mensen zijn sterfelijk
Socrates is een mens
Socrates is sterfelijk
Of:
a -> b
a_____
b
dus:
Als het regent worden de straten nat
Het regent
De straten worden nat
2. inductie:
In dit geval redeneert men van het bijzondere naar het
algemene. Uit een aantal instanties van een verschijnsel wordt iets algemeens
geconcludeerd. De waarheid van de premissen garanderen nu niet de waarheid van
de conclusie.
Voorbeeld:
a1 is een B
a2 is een B
a3 is een B
.
.
.________
Alle A’s zijn B
3. abductie:
Als oorzaak voor een verschijnsel wordt de meest plausibele verklaring
gekozen. Het is eigenlijk een vorm van het bevestigen van de consequent
(drogreden).
a -> b
b____
a
Voorbeeld:
Als x de moord heeft gepleegd zal zijn DNA-profiel
overeenkomen met het DNA-profiel dat op het lijk is gevonden.
Het DNA-profiel dat op het lijk is gevonden komt overeen
met dat van x.
x heeft de moord gepleegd
Abductie wordt nogal eens in de rechtszaal gebruikt. Op
zichzelf is dat niet zo vreemd mits op de juiste manier toegepast.
Voorbeeld:
Op het lijk wordt een haar gevonden. De verdachte heeft
eenzelfde kleur haar. Het blijkt dat 1 op de 100 mensen zo’n kleur haar heeft.
De aanklager kan nu de volgende denkfout maken:
Uit het feit dat slechts 1 op de 100 mensen zo’n kleur haar
heeft volgt dat de kans dat de verdachte het niet heeft gedaan 1 op 100 is
(omdat de kans dat de verdachte toevallig dezelfde kleur haar heeft 1 op 100
is).
Deze redenering wordt de drogreden
van de aanklager genoemd.
De verdediger kan nu eenzelfde soort redeneerfout maken. Uit
het feit dat 1 op de 100 mensen zo’n kleur haar heeft, en uit het feit dat er
in Nederland dus 160.000 mensen zijn met zo’n kleur haar, concludeert hij dat
de kans dat de verdachte schuldig is 1 op 160.000 is.
Deze redenering wordt de drogreden
van de verdediger genoemd.
In de praktijk komen dit soort redeneringen ook echt voor.
Sally Clark werd in 1999 veroordeeld voor de moord op haar twee zoons. De
redenering die in de rechtszaal werd toegepast kan getypeerd worden als een van
de grootste rechtelijke dwalingen. Het is een voorbeeld van de drogreden van de
aanklager (prosecutor’s fallacy).
In 1996 kreeg Sally haar eerste zoon. Deze overleed na acht
weken. Oorzaak onbekend (wiegendood). Ongeveer een jaar later krijgt Sally een
tweede zoon. Ook hij overlijdt na zo’n week of acht aan wiegendood. Sally wordt
gearresteerd op verdenking van moord. Professor Roy Meadow, een kinderarts,
verklaart dat de kans dat een moeder twee kinderen verliest aan wiegendood 1 op
73 miljoen is.
Sally Clark wordt op grond van dit feit veroordeeld. De kans
dat het toeval is is zo klein dat de kans dat Sally onschuldig is aan moord
dienovereenkomstig klein is (the prosecutor’s fallacy).
De zaak wordt in 2003 heropend. Sally heeft inmiddels al
vier jaar in de gevangenis gezeten. Ze wordt vrijgesproken. De redenering die
heeft geleid tot haar veroordeling is op twee manieren fout.
Ten eerste is de inschatting van een kans van 1 op 73
miljoen op twee maal wiegendood in een gezin niet correct. Dit getal was als
volgt ontstaan.
De kans dat een kind sterft aan wiegendood is 1 op 1303.
Komt het kind uit een gezin waar niet wordt gerookt en waar de moeder ouder is
dan 26 dan is de kans 1 op 8500. Dit betekent dat de kans dat twee kinderen in
een gezin sterven aan wiegendood gelijk is aan 1 op 8500 in het kwadraat,
oftewel 1 op 73 miljoen.
Het probleem met deze redenering is dat de twee gevallen van
wiegendood niet los van elkaar staan. Als een moeder zo ongelukkig is dat ze
een kind verliest door wiegendood dan is de kans dat dat nog een keer zal
gebeuren 1 op 100. Dit betekent dat we niet moeten rekenen met 1 op 73 miljoen
maar met 1 op 85000.
De tweede fout die gemaakt wordt is dat er geconcludeerd
wordt dat de kans dat Sally onschuldig is gelijk is aan de kans op twee maal
wiegendood. Dit is zoals eerder opgemerkt de drogreden van de aanklager.
Waarom is dit een verkeerde redenering?
Neem het volgende voorbeeld.
In een stadje rijden twee soorten taxi’s, groene en blauwe.
Op een mistige avond veroorzaakt een taxi een ongeluk en rijdt door. Een
getuige weet te verklaren dat het een blauwe taxi was. De politie wil weten of
de getuige betrouwbaar is en onderwerpt hem aan een test waarbij hij groene en
blauwe taxi’s van elkaar moet onderscheiden. Het blijkt dat de getuige in 80%
van de gevallen de juiste kleur noemt.
Men concludeert nu dat de kans dat de taxi blauw was 80% is.
Dit is een vorm van de drogreden van de aanklager. We kunnen
nu ook wat beter zien wat die drogreden precies is. We hebben hier namelijk te
maken met twee voorwaardelijke kansen. De eerste is de kans dat een blauwe taxi
het heeft gedaan gegeven dat onze getuige zegt dat het een blauwe taxi was. De
tweede is de kans dat de getuige zegt dat het een blauwe taxi is gegeven dat
een blauwe taxi het heeft gedaan.
De drogreden van de aanklager is dat de tweede kans gezien
wordt als de eerste.
Een klein beetje formaliseren maakt het wat
overzichtelijker:
H = hypothese
E = bewijs (evidence)
H = een blauwe taxi heeft het gedaan
E = de getuige zegt dat een blauwe taxi het heeft gedaan
We hebben te maken met twee kansen:
P(H|E) = de kans dat een blauwe taxi het heeft gedaan
gegeven dat de getuige zegt dat het een blauwe was.
P(E|H) = de kans dat onze getuige zegt dat een blauwe taxi
het heeft gedaan gegeven dat een blauwe het heeft gedaan.
We willen weten: P(H|E)
We weten echter: P(E|H) = 0,8
De prosecuter’s fallacy is het toekennen van 0,8 aan P(H|E).
Dat P(H|E) niet hetzelfde is als P(E|H) kan makkelijk
aangetoond worden.
Stel dat er in het stadje 100 taxi’s rondrijden. 85 taxi’s
zijn groen en 15 zijn blauw.
Onze getuige zal van de 85 groene taxi’s 17 taxi’s (20% van
85) blauw noemen. Van de 15 blauwe noemt hij er 12 (80% van 15) blauw. Van de
29 taxi’s die onze getuige blauw noemt zijn er dus 17 groen. Slechts in 41% van
de gevallen heeft onze getuige het dus goed.
P(H|E) = 12/29 = 0,41
P(E|H) = 0,8
Willen we in het algemeen P(H|E) uitrekenen dan kunnen we
daarvoor de formule van Bayes gebruiken. Deze formule luidt:
P(H|E) = 
Met:
P(E) = P(H).P(E|H) + P(~H).P(E|~H)
Waarin:
~H = niet H
Toegepast op de taxi’s:
P(H|E) = 
De formule van Bayes toegepast op Sally Clark
H = twee kinderen binnen hetzelfde gezin sterven aan
wiegendood
E = beide kinderen zijn dood
Zeg dat de kans dat twee kinderen binnen hetzelfde gezin
sterven aan wiegendood 1 op 100.000 is.
P(H) = 1/100.000
Er geldt:
P(E|H) = 1
We willen weten:
P(H|E) = de kans dat er twee kinderen sterven aan wiegendood
gegeven dat er twee kinderen dood zijn.
De grote moeilijkheid is het vinden van:
P(E|~H)
Dit is de kans dat twee kinderen uit een gezin dood zijn
gegeven dat het geen wiegendood is. Als we andere doodsoorzaken uitsluiten is
het de kans dat twee kinderen in een gezin worden vermoord.
In de UK worden jaarlijks zo’n 30 kinderen vermoord door hun
moeder. Er worden er jaarlijks 650.000 geboren.
Dit zou betekenen:
P(E|~H) = 30/650.000 = 0,000046
Als we voorzichtig zijn en dit getal met een factor 10
verkleinen dan krijgen we:
P(H|E) = 
De kans dat Sally onschuldig is groter is dan 2/3. Zeker
geen grond voor een veroordeling.
De berekeningen zijn van
Helen Joyce. Zij was redacteur van Plus (onderdeel van het Millennium
Mathematics Project) en werkt nu voor The Economist.
|
PPE